Eine statische Kennlinie stellt die Reaktion auf ein langsames Signal dar. Die Kennlinie ist die Verbindung zwischen der Messgröße und dem Ausgang des Sensors. Wenn der Sensor linear ist, kann man den Wert der Messgröße leicht ableiten.
In vielen Fällen ist die Kennlinie nicht linear.
Kennlinie eines Widerstandes
Note
Die Kennlinie gibt den Wert des Widerstands als Funktion der Temperatur an. Dies ist eine Beschreibung des physikalischen Verhaltens des Bauteils. In der Praxis werden wir den Widerstand messen und müssen daraus die Temperatur ableiten.
Ein statisches System hat eine momentane Reaktion. Ein typisches Beispiel ist ein Widerstand. Der Strom ist statisch mit der Spannung verknüpft, die Beziehung ist nicht zeitabhängig.
\[ U(t) = R \cdot i(t) \]
Ein dynamisches System ist zeitabhängig, wie z. B. das Einschalten eines Motors. Er kann nicht sofort mit seiner Nenndrehzahl laufen.
Caution 1: Gleichstromantrieb
Ein Motor erzeugt ein Drehmoment, das durch die folgende Gleichung gegeben ist: \[ M(t)=K_i \cdot i(t) \]
Der Strom entspricht einer Differentialgleichung \[ u(t)=R i(t) + L \frac{di}{dt} + K_n \omega(t) \]
Die mechanische Gleichung des Motors ist gegeben durch \[ J \frac{d\omega}{dt} + f \cdot \omega(t) = M(t) - M_R(t) \]
Bei einer Änderung der Bedingungen findet ein System nicht sofort einen Gleichgewichtspunkt.
Ein Pt100-Fühler hat zum Beispiel eine eigene Masse. Seine Temperatur kann sich nicht augenblicklich ändern.
Wenn die Sonde in ein Medium getaucht wird, muss ihre Temperatur den Wert des Mediums annehmen.
Außerdem erwärmt der Strom, der für die Messung verwendet wird, die Sonde, wodurch ihre Temperatur steigt. Mit zunehmender Temperatur steigt auch ihre Ableitung nach außen (z. B. an die Umgebungsluft).
Herausforderung
Wie lauten die Differentialgleichungen, die dieses System regeln?
Die Temperatur entspricht einer Differentialgleichung :
\[ \frac{\partial T_{sonde}}{\partial t} c_m= P_{el}-P_{th}=R \cdot i^2 - R_{th} \cdot (T_{sonde} - T_a) \]
Dabei ist \(T_a\) die Umgebungstemperatur und \(R_{th}\) ein Wärmewiderstand.
Nach einer ausreichend langen Zeit tritt eine Gleichgewichtstemperatur auf, wenn \(\frac{\partial T}{\partial t}=0\), d. h. wenn :
\[ R \cdot i^2 = R_{th} \cdot (T_{sonde} - T_a) \implies T_{sonde} = \frac{R \cdot i^2}{R_{th}} + T_a \]
Achtung
Der Wert von \(R_{th}\) hängt von den Nutzungsbedingungen ab. In der Luft wird dieser Wert größer sein als im Wasser. In der Luft kann die Ausrichtung und die Geschwindigkeit der Luft den Wert beeinflussen.
Tip
Welchen Sinn hätte es, eine Sonde mit höherem Widerstand zu verwenden?
Einige Besonderheiten schränken die Möglichkeiten ein, den Messwert genau zu finden.
Ein mechanisches Spiel, typischerweise ein Zahnrad. Das Spiel bewirkt, dass die Bewegung einer Achse am Eingang nicht sofort am Ausgang zu sehen ist.
Im Magnetismus hat die Magnetisierung eine Hysterese. Je nach Laufrichtung ist die Charakteristik nicht die gleiche.
Die Auflösung eines Geräts ist die kleinste Veränderung der gemessenen Größe, die eine wahrnehmbare Veränderung der vom Gerät ausgegebenen Anzeige bewirkt.
\[ \Delta x = \frac{\text{Plage d'entrée}}{2^N}, \text{$N$ est le nombre de bits} \]
Die einfachste Art der Kalibrierung ist eine Einstellung des Offsets und der Verstärkung eines Geräts. Sie benötigen lediglich einen Referenzwert, der gemessen werden muss, um die Verstärkung einzustellen.
| Offset einstellen | Das Gerät zeigt Null an, wenn es keinen Messwert gibt |
| Einstellung der Verstärkung | Man verwendet einen bekannten Wert, um die Verstärkung einzustellen. |
Tip
Hochpräzise Geräte haben interne Referenzen und können sich selbst kalibrieren.
Geräte, die für den Handel oder für eine offizielle Messung verwendet werden, müssen in regelmäßigen Abständen überprüft und kalibriert werden, um die Genauigkeit über die Zeit zu gewährleisten.
| Kalibrierung eines Volumenzählers | Der Volumenzähler wird bei jeder Messung auf Null zurückgesetzt. Zum Kalibrieren füllt man einen Behälter mit bekanntem Volumen, der besonders gut um die Qualibrationsmenge abgestuft ist |
| Kalibrierung eines Gasmessgeräts | Um ein solches Gerät zu kalibrieren, verwendet man Proben von bekanntem Gas. Für den Nullpunkt verwendet man z. B. Stickstoff. Für die Einstellung der Skala wird ein Gas mit bekannten Eigenschaften verwendet |
Eine Sensoreigenschaft wird manchmal durch eine nichtlineare Beziehung ausgedrückt. Man kann die Berechnungen vereinfachen, indem man eine Linearisierung der Kennlinie durchführt.
\[ y = f(m), \quad y_{lin} = f(m_0) + S \cdot (m-m_0), \quad S = \frac {d f(m)}{dm} \bigg|_{m_0} \qquad(1)\]
Durch diese Linearisierung kann die Berechnung vereinfacht werden. In vielen Fällen ist die Näherung ausreichend.
Die Umkehrung der Charakteristik ist nicht immer einfach. Eine Linearisierung hingegen ist nicht schwer umzukehren.
Übung
Linearisierung der Kennlinie eines NTC-Widerstands.
Die Linearisierung kann auf verschiedene Weise interpretiert werden. Zum Beispiel hat der Widerstand eines Pt1000 die Kennlinie für \(T\) ausgedrückt in °C. Man kann auf verschiedene Arten linearisieren:
\[ R=R0\left( 1 + \alpha T + \beta T^2 \right), \alpha= 0.39 \cdot 10^{-2}, \beta=-5 \cdot 10^{-6} \]
Für ein multivariates System der Art :
\[ Y=f(a,b,c,...) \]
Die Verallgemeinerung der Linearisierung besteht darin, die Ableitung auf jeder Variablen zu berechnen, die man am Betriebspunkt auswertet. Am Ende erhält man einen Ausdruck wie :
\[ y_{lin} = f(a_0,b_0,...) + Sa \cdot (a-a_0) + Sb \cdot (b-b_0)+ ..., \\ Sa = \frac {d f(a,b,c,...)}{da} \bigg|_{a_0, b_0,..} \\ Sb = \frac {d f(a,b,c,...)}{db} \bigg|_{b_0, b_0,..} \\ ... \qquad(2)\]
Übung
Linearisieren Sie diese Funktion um den Punkt \(x_1=3, x_2=4\): \[ y(x_1,x_2)=0.5 \cdot x_1 \cdot x_2^2 \]
\[ \begin{array}v G_{puissance} = \frac{A_{sortie} ^2}{A_{entrée}^2}=G_{amp}^2 && G_{puissance}[dB] = 10 \cdot \log _{10}(G_{puissance}) = \\ && 10 \cdot \log _{10}(G_{amp}^2) = 20 \cdot \log _{10}(G_{amp}) \end{array} \]
Wenn wir eine Audioszene analysieren, in der wir eine Tonaufnahme mit einem Mikrofon machen wollen. Dabei treten folgende Phänomene auf:
Die Ausbreitung in der Luft verursacht einen Verlust von 3dB jedes Mal, wenn sich die Entfernung verdoppelt.
Das Mikrofon hat je nach Mikrofontyp eine unterschiedliche Charakteristik, die es ermöglicht, z. B. ein Instrument zu visitieren.
Die Reaktion des Mikrofons, seine Richtcharakteristik, hängt von der Frequenz der Schallquelle ab.
Kabel können eine Dämpfung einführen.
\[ A_{sortie} = A_{entrée} \cdot g_{preamp} \cdot att_{line} \cdot g_{ampli} \]
\[ \begin{array}a A_{sortie}[dB] = 20 \log_{10}(A_{entrée} \cdot g_{preamp} \cdot att_{line} \cdot g_{ampli}) = \\ 20 \log_{10}(A_{entrée}) + 20\log _{10}(g_{preamp}) + 20\log _{10}(att_{line}) + 20\log _{10}(g_{ampli}) \\ P_{sortie}[dB] = P_{entrée}[dB] + G_{pream} + G_{line} + G_{amp} \end{array} \]
Tip
Tip
Man braucht keinen Taschenrechner …
Es gibt einige bemerkenswerte Werte:
Pitot-Sonde
Eine Prandtl-Sonde, auch Pitot-Rohr genannt, dient dazu, die Geschwindigkeit v eines Flugzeugs zu messen. Flugzeugs in Bezug auf die Luft. Sie vergleicht den statischen Druck Pstat mit dem Gesamtdruck Ptot, \[ P_{tot}=P_{stat} + \frac{\rho}{2}v^2 \] Wobei die Dichte ρ der Luft von der Flughöhe H abhängt, gemäß \[ \rho(𝐻) = \rho_{mer}(1 − 𝑘 \cdot 𝐻)^\alpha \] mit \(\alpha = 5.26\), \(\rho_{mer} = 1.29 [kg/m3]\), \(k = 22.6·10-6 [1/m]\), und \(H\) in [m] über dem Meeresspiegel.
Der Unterschied zwischen \(P_{stat}\) und \(P_{tot}\) ergibt sich aus dem Höhenunterschied \(\Delta h\) der Säule aus Flüssigkeiten. Flüssigkeit (Quecksilber) mit der Dichte \(\rho _{Hg} = 13’600 [kg/m3]\). Wir nehmen \(g = 9.81 [m/s^2]\).
Zeigen Sie, dass die nichtlineare Beziehung der Geschwindigkeit v in Abhängigkeit von Δh und H wie folgt lautet \[ v(\Delta h, H)=sqrt{\frac{2 \rho_{Hg} g \Delta h}{\rho_{mer}(1-k \cdot H)^\alpha}} \]
Zeigen Sie, dass der linearisierte Ausdruck dieser Beziehung um den Arbeitspunkt herum. \(v_0, H_0\) geschrieben wird:
\[ v_{lin}(\Delta h, H)=v_0 + \frac{\alpha k v_0}{2(1-k H_0)}(H-H_0)+\frac{v_0}{2 \Delta h_0}(\Delta h - \Delta h_0) \]
und geben Sie einen Ausdruck für \(Δh_0\).
Note
Übung der Pitot-Sonde wurde in einem jupyter notebook durchgeführt.
Pitot-Sonde: python/ex_pitot_sol.ipynb
NTC-Widerstand
Wir betrachten einen NTC-Widerstand (negative temperature coefficient = negativer Temperaturkoeffizient negativer Temperaturkoeffizient), der als Temperatursensor dient. Seine Charakteristik ist ist in der nebenstehenden Abbildung dargestellt.
Der Widerstand als Funktion der Temperatur gehorcht dem Gesetz
\[ R(T)=R_{25} \exp(\beta (\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{25}})) \]
mit \(R_{25} = 10kΩ\), \(\beta = 3965 [K]\), \(T_{25} = 298 [K]\) und der Temperatur \(T\), die in [K] angegeben wird.
Der Stromkreis wird wie nebenstehend beschrieben verändert.
\[ \begin{align} R_S = 30 [k \Omega] && U_0 = 10 [V] \end{align} \]
Höhenmesser
Eine gängige Methode zur Messung der Höhe h ist die Ableitung der Höhe aus einer Messung des Luftdrucks Der Luftdruck p ändert sich mit der Höhe wie folgt
\[ \frac{dp}{dh}=-\rho g \]
wobei die Dichte \(\rho\) ihrerseits vom Druck \(p\) abhängt gemäß der Beziehung
\[ \rho = \frac{\rho_0}{p_0}p \]
Der Index 0 bezeichnet Werte, die bei einer Höhe von \(h_0\) und einer Referenztemperatur \(T_0\). \(g = 9.81 [m/s2]\) ist die Erdbeschleunigung.
Der vollständige Umgebungsdruck \(p_a\) hängt außerdem von der Temperatur ab. Temperatur gemäß der Beziehung
\[ p_a(h,T)=p(h) \cdot \frac{T}{T_0} \]
Zeigen Sie, dass die folgende Beziehung für \(h(p_a,T)\) die folgenden gegebenen Grundgleichungen erfüllt:
\[ h(p_a,T)=\frac{p_0}{\rho_0 g}\ln \left({\frac{p_0}{p_a}\cdot \frac{T}{T_0}}\right) \]
Hinweis: Invertiere \(h(p)\) zu \(p(h)\), und überprüfe dann, dass \(p(h)\) eine Lösung der Grundgleichungen ist.
Zeigen Sie, dass die Höhe \(h(p_a,T)\) von einer Referenzhöhe \(h_0\) aus linearisiert werden kann nach
\[ h_{lin}(𝑝_𝑎, T) = ℎ_0 + S_p(𝑝_𝑎 − 𝑝_0) + S_T(T − T_0) \]
Zeigen Sie, dass für
\(h0 = 500 [m]\) \(p_{a0} = p_0 = 1013.25 [hPa]\) (1 [hPa] = 100 [Pa]), \(T_0 = 288 [K]\) (oder 15 [°C]), \(\rho_0 = 1.225 [kg/m3]\),
ergibt sich \(S_p = -8.32 [m/hPa]\) und \(S_T = 29.3 [m/°C]\)
Wie groß ist der absolute Fehler in [m] bei der Höhenmessung mit dieser Linearisierung, wenn eine Person von Sion \((h0,T0)\) bis zum Gornergrat \((h = 3135 [m], T = -5 [°C])\) reist.
Da der Höhenmesser nicht über eine genaue Messung der Temperatur T verfügt, korrigiert er wendet eine standardisierte Korrektur von -6.5 [°C] /1000 [m] Höhenunterschied an. Wie groß ist ist der Höhenfehler, wenn man in unserem Fall mit dieser Standardkorrektur rechnet?
Gewinn eines seriellen Systems
Zwei Verstärker sind in Reihe geschaltet. Der erste verdoppelt die Amplitude des Signals und der zweite auf eine Verstärkung von 34 [dB].
Beschallung eines Orchesters
Eine Schallquelle wird mit einem Mikrofon MKH 416 aufgenommen. Wir haben zwei Instrumente, eine Geige und ein Saxophon. Die Instrumentalisten sitzen 2 m voneinander entfernt.
| Parameter | Wert |
|---|---|
| Schallpegel einer Violine | 80 dBA |
| Schallpegel eines Saxophons | 90 dBA |
| Niesen | 90 dBA |
| Abstand zu den Zuschauern | 20 Meter |
| Dämpfung mit der Entfernung | 3dB / Verdoppelung der Entfernung |
Gleichstromtraining
Was ist der stationäre Zustand des Gleichstromantriebs (siehe 1)?
Instrumentation 2025-2026